Deze post is een vertaalde en enigszins uitgebreidere versie van een ouder artikel op mijn Engelstalige blog.
In eerdere posts heb ik de ruwe contouren geschetst van een hedendaagse versie van het Absoluut Idealisme, een versie die ik – bij gebrek aan een betere term – graag ‘Absoluut Idealisme 2.0’ noem. De filosofische traditie van het Absoluut Idealisme, die zich uitstrekt van de Upanishads in het Oosten en Plotinus in het Westen tot aan de Duitse en Britse Idealisten, kan worden samengevat als de claim dat alles bestaat omdat het wordt gedacht en/of ervaren door een Absoluut Bewustzijn, dat op zijn beurt bestaat omdat het zichzelf denkt/ervaart. Het Absolute Bewustzijn laat dus zichzelf bestaan (oftewel, in de taal van de klassieke filosofie, het is causa sui) simpelweg door zich bewust te zijn van zichzelf. Als zodanig moet dit Bewustzijn primair gedefinieerd worden als Absoluut Zelfbewustzijn (in het volgende gebruik ik hiervoor de afkorting ‘ASA’, van Absolute Self-Awareness). Dit ontologisch zelf-funderende of zelf-veroorzakende vermogen van ASA (vooral ontwikkeld door Plotinus en Fichte) is naar mijn mening een van de sterke punten van het Absolute Idealisme, omdat het een mogelijk (en, naar mijn mening, plausibel) antwoord biedt op de beroemde vraag van Leibniz: Waarom bestaat er iets in plaats van niets?
Dit antwoord is echter alleen iets waard als het concept van ASA ook kan verklaren waarom de werkelijkheid is zoals ze is. We willen niet alleen het bestaan van de werkelijkheid verklaren; we willen ook de aard ervan verklaren. Waarom heeft de werkelijkheid de vorm aangenomen van dit universum dat we om ons heen zien, zich ontwikkelend in ruimte en tijd, geregeerd door deze fysische wetten? Dit is waar de toevoeging ‘2.0’ om de hoek komt kijken. Absoluut Idealisme 2.0 is geïnspireerd door de moderne natuurkunde, die de fundamenteel-wiskundige aard van de fysieke werkelijkheid laat zien, en benadrukt dan ook het nauwe verband tussen wiskunde en de structuur van (absoluut) zelfbewustzijn. In eerdere posts heb ik al enkele ideeën ontwikkeld over deze verbinding (zie hier, hier en hier). In het volgende til ik deze ideeën naar een (iets) hoger niveau. Ik zal eindigen met enkele speculaties over een wiskundige oplossing voor het aloude filosofisch-theologische ‘probleem van het kwaad’, het zgn. theodiceeprobleem.
ASA en de oneindigheid van de natuurlijke getallen
Het basisidee van het Absoluut Idealisme 2.0 is dat ASA, vanwege zijn innerlijke recursiviteit, een oneindige reeks reflectieniveaus genereert, namelijk: zelfbewustzijn, bewustzijn van zelfbewustzijn, bewustzijn van bewustzijn van zelfbewustzijn, etc. – een reeks die isomorf is aan de reeks van de natuurlijke getallen N={0, 1, 2, 3, …}. Als we een structuralistische visie op de wiskunde veronderstellen (zodanig dat wiskundige objecten numeriek identiek zijn als ze isomorf zijn), kunnen we concluderen dat de natuurlijke getallen bestaan omdat ASA ze ‘denkt’ door zijn innerlijke recursiviteit. N is dus de eerste creatie van ASA, direct volgend op zijn onmiddellijke, zelf-funderende zelfbewustzijn.
Dit idee, dat ASA door zijn innerlijke recursiviteit een reeks genereert die isomorf is met N, werd voor het eerst systematisch naar voren gebracht door de Amerikaanse idealist Josiah Royce, beïnvloed door Dedekinds beruchte Gedankenwelt-bewijs voor het bestaan van oneindigheid (zie het ‘Supplementary Essay’ in Royce 1959 [1899]). Anticipaties op dit idee zijn echter al te vinden bij de Neoplatoonse filosoof Plotinus (zoals ik hier uitvoeriger uitleg). Vrijwel hetzelfde idee werd later ontwikkeld door de Husserliaanse fenomenoloog en wiskundige Oskar Becker, die tot in detail laat zien hoe de innerlijke ontvouwing van zelfbewustzijn dezelfde principes vertoont als die welke Cantor gebruikte bij zijn constructie van de transfiniete hiërarchie (zie Becker 1973 [1927]).
Tegen deze interpretatie van N als gefundeerd in de oneindige recursiviteit van het zelfbewustzijn wordt soms ingebracht dat deze oneindige veelheid aan niveaus van zelfbewustzijn menselijkerwijs onmogelijk is: we kunnen ons ervan bewust zijn dat we zelfbewust zijn, en misschien kunnen we ons ook bewust zijn van dit bewustzijn van ons zelfbewustzijn, maar dat is ‘where the buck stops’ voor de meesten van ons. Russell geeft bijvoorbeeld het volgende commentaar op Dedekinds idee dat zelfbewustzijn oneindig veel reflectieniveaus impliceert: ‘Now it is plain that this is not the case in the sense that all these ideas have actual empirical existence in people’s minds. Beyond the third or fourth stage they become mythical.’ (Russell 1970 [1919]: 139)
Het intentionele Droste-effect van zelfbewustzijn
We kunnen deze tegenwerping echter op twee (complementaire) manieren ontkrachten. Het eerste tegenargument komt van de reeds genoemde Oskar Becker, die zoals gezegd vanuit de Husserliaanse fenomenologie naar deze kwestie kijkt. Met name bij dit probleem maakt Becker handig gebruik van Husserls fenomenologie, waarin altijd een strikt onderscheid wordt gemaakt tussen bewustzijn als psychische act (dwz. als empirisch object in de menselijke psyche) en bewustzijn als intentionaliteit (dwz. als de niet-empirische inhoud die door een psychische act bedoeld / geïntendeerd wordt). Neem, bij wijze van simpel voorbeeld, de waarneming van een boom. Enerzijds zijn er de zintuiglijke indrukken, die subjectief zijn en bovendien de boom van slechts één kant laten zien (Husserls Abschattung); dit is de waarneming als empirisch-psychisch fenomeen. Anderzijds is er echter ook de intentionele inhoud van deze waarneming, namelijk de objectieve boom an sich en als geheel (zo weten we dat de boom ook een achterkant heeft, ook al zien we alleen de voorkant).
Nu is Beckers reactie op Russells tegenwerping (dat de mens slechts tot een zeer beperkt aantal zelfreflectie-niveaus in staat is) dat dit weliswaar geldt voor zelfreflectie als psychische activiteit maar niet voor de intentionele inhoud of structuur van die psychische activiteit. En dat is eigenlijk ook tamelijk logisch, anders zou de mens niet in staat zijn tot het (wiskundige) begrip van oneindigheid. Dat wil zeggen: om oneindigheid te denken, bijvoorbeeld de oneindigheid van N, hoeven we niet oneindig veel psychische akten uit te voeren (dwz. we hoeven niet daadwerkelijk oneindig lang door te tellen), we moeten alleen de intentionele structuur ‘inzien’ van deze psychische activiteit. Aldus Becker: ‘Man muß die Struktur der Betrachtung über die Ineinanderschachtelung der Intentionalitäten sorgfältig unterscheiden von der Struktur dieser Ineinanderschachtelung selber. Die erste Struktur ist von finiter, die zweite von transfiniter Komplikation.’ (Becker 1973, 107)
Om dit te verduidelijken geeft Becker het voorbeeld van een zogenoemd ‘Droste-effect’, naar de befaamde cacao-blikken van het merk Droste, waarop een verpleegster is te zien (cacao zou namelijk goed zijn voor de gezondheid) met in haar handen een dienblad met daarop een kop warme cacao-melk én precies hetzelfde cacao-blik, met daarop exact hetzelfde tafereel. We zien dus een afbeelding die zichzelf afbeeldt in een eindeloze reeks van steeds kleinere afbeeldingen. Becker merkt terecht op dat we van deze reeks slechts de eerste drie of vier afbeeldingen daadwerkelijk zien (de rest is te klein om gezien / getekend te worden), maar dat we meteen ook inzien dat de intentionele structuur van deze waarneming er één is van oneindige zelfafbeelding. Een eindige psychische activiteit kan dus heel goed een oneindige intentionele inhoud hebben. Aldus Becker: ‘Wir “sehen” da deutlich die unendliche Stufung der Bilder ihrer Idee nach, dem Sinne ihrer Intention entsprechend. Aber ebenso deutlich sehen wir – mit den Augen –, daß nur eine ganz kleine Zahl von Stufen, vielleicht 4 oder 5, wirklich körperlich vorliegt. Beides widerspricht sich keineswegs.’ (Becker 1973, 108, n. 1)
Kortom, om terug te keren naar het oorspronkelijke probleem, het feit dat wij in onze zelfreflectie qua psychisch proces slechts in staat zijn tot een beperkt aantal niveaus zegt niets over de intentionele structuur van die zelfreflectie. Sterker nog, zodra we ons bewust zijn van ons bewustzijn treedt er een soort mentaal Droste-effect op, waardoor we in een klap begrijpen dat de intentionaliteit van deze zelfreflectie er eentje is van oneindige zelfbevatting. Russells argument tegen de oneindige recursiviteit van het zelfbewustzijn komt dus te vervallen.
Oneindigheid en Cantors Intellectus Divinus
Zoals gezegd is er ook nog een tweede (complementaire) reactie op Russells argument mogelijk. We moeten namelijk ook bedenken dat we in het kader van Absoluut Idealisme 2.0 niet spreken over het menselijk zelfbewustzijn (dat altijd individueel en eindig is), maar over absoluut zelfbewustzijn (ASA) als zelfveroorzakende oorzaak van de gehele werkelijkheid. De veronderstelling dat ASA bestaat, is weliswaar niet vanzelfsprekend, en ik begrijp waarom een filosoof als Russell die veronderstelling zonder meer zou verwerpen (Russell en Moore begonnen de analytische filosofie immers als een opstand tegen het Absolute Idealisme van hun leraren). Niettemin kan het idee dat zelfbewustzijn een zelfveroorzakend vermogen heeft goed verdedigd worden, en ik zie geen ander even plausibel (laat staan plausibeler) antwoord op de vraag van Leibniz: waarom bestaat de werkelijkheid?
Zodra we de veronderstelling aanvaarden dat ASA de zelfveroorzakende oorzaak van de werkelijkheid is, valt het bovenstaande bezwaar tegen de oneindigheid van reflectieniveaus weg. Want zo’n oneindige complexiteit zal toch zeker geen probleem zijn voor het Absolute, dwz. datgene wat de werkelijkheid als geheel verklaart? We moeten hierbij ook in gedachten houden dat, aangezien zelfveroorzaking ín de tijd uiteraard onmogelijk is, ASA alleen tijdloos kan bestaan. De oneindige hiërarchie van reflectieniveaus binnen ASA kan dus niet worden opgevat als een louter potentiële oneindigheid, die zich in de tijd ontvouwt: deze hiërarchie moet veeleer worden opgevat als een tijdloos bestaande feitelijke oneindigheid, die ‘in één keer’ tot stand is gebracht door de ASA, in de nunc stans van zijn tijdloze zelfbewustzijn.
Ik merk hier terloops op dat dit idee van een oneindige hiërarchie van reflectieniveaus binnen ASA (een hiërarchie die zich zelfs uitstrekt tot in het transfiniete, zoals Oskar Becker betoogt) wonderwel past bij Cantors oorspronkelijke visie op de transfiniete verzamelingenleer. Cantor was een diep religieuze man, die niet minder geïnteresseerd was in theologie en metafysica dan in wiskunde. Voor hem werd het bestaan van de oneindige hiërarchie van het transfiniete gegarandeerd door God, in wiens geest alle oneindige verzamelingen als afzonderlijke ideeën zouden bestaan. Deze verzamelingen, zoals Cantor schreef, ‘exist in the highest degree of reality as eternal ideas in the Intellectus Divinus’ (geciteerd in Dauben 1979: 228). Het is duidelijk dat andere wiskundigen de theologische opvattingen van Cantor over het algemeen afkeuren (soms interpreteren ze deze opvattingen zelfs als tekenen van Cantors geestesziekte, waar zeker een vleugje religieuze waanzin bij zat). Voor de meeste wiskundigen kan de transfiniete verzamelingenleer prima functioneren zonder een basis in theologische metafysica. Maar vanuit het perspectief van Absoluut Idealisme 2.0 zijn de theologische opvattingen van Cantor niet zo vreemd. Je zou zelfs kunnen zeggen dat wij, door te pleiten voor de zelfveroorzaking van ASA en de inherente recursiviteit ervan (die de oneindige hiërarchie van reflectieniveaus genereert), een filosofische basis geven aan Cantors geloof in het bestaan van de oneindige hiërarchie in de Intellectus Divinus (overigens een uiterst Neoplatoonse formulering).
ASA en de verzameling van de reële getallen
De volgende denkstap in de ontvouwing van het Absoluut Idealisme 2.0 is het besef dat ASA, door zijn bewustzijn van de natuurlijke getallen, zich ook bewust is van alle mogelijke afbeeldingen (mappings) van de natuurlijke getallen naar de natuurlijke getallen. En dat impliceert dat ASA zich bewust is van alle totale functies f:N→N. Om te begrijpen waarom, moeten we in gedachten houden wat ASA in wezen is, namelijk absoluut zelfbewustzijn. Hieruit volgt dat ASA op elk reflectieniveau n van N zich bewust is van zijn identiteit met zichzelf op elk willekeurig ander reflectieniveau m van N (we kunnen dit ASA’s inter-level self-identity noemen). Een dergelijk besef van de eigen identiteit op verschillende reflectieniveaus n en m komt dan neer op een afbeelding van n naar m, dwz. een functie f zodanig dat f(n)=m. En aangezien dit, zoals aangegeven, geldt voor alle n en m uit N, volgt hieruit dat ASA alle totale functies f:N→N uitvoert. (Als ik hieronder over functies spreek, bedoel ik steeds totale functies, in tegenstelling tot partiële functies; zie hier voor het onderscheid).
Nu is de verzameling van alle f:N→N tegelijk ook de verzameling van alle (positieve) reële getallen R+, dat wil zeggen het positieve continuüm (vgl. Burrill 1967). Dit volgt uit de feiten dat elk f:N→N gezien kan worden als de definitie van een reëel getal en omgekeerd dat elk reëel getal gezien kan worden als de output van een f:N→N die progressief zijn domein N evalueert (dwz. de reeks f(0), f(1), f(2), …). Het punt is dat elk reëel getal kan worden gedefinieerd als een natuurlijk getal (het integer-gedeelte), gevolgd door een unieke en oneindige decimale expansie, bijvoorbeeld π=3,141592654… Nu is er onder alle f:N→N minstens één f die π als output geeft terwijl f progressief N evalueert. Dat wil zeggen: er is minstens één f zodanig dat f(0)=3, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1, enzovoort. Een mogelijke definitie van π is dus in termen van deze f, namelijk: π=f(0),f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)…
Op deze manier kan elk positief reëel getal gedefinieerd worden in termen van een f:N→N. En omgekeerd definieert elke f:N→N een positief reëel getal. Kortom, de verzameling van alle f:N→N is in principe identiek aan de verzameling R+. Dit vereist uiteraard de afspraak dat we elke f(0) zien als het integer-gedeelte van het reële getal gedefinieerd door deze f, maar dat is geen probleem. Er is echter wel één kleine complicatie bij deze definitie van R+ in termen van alle f:N→N: deze aanpak impliceert dat verschillende functies soms hetzelfde reële getal definiëren. We hebben bijvoorbeeld gezien dat π wordt gedefinieerd door de functie f, zodat f(0)=3, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, … Maar er is ook een andere functie (laten we hem g noemen) uit de verzameling van alle f:N→N die π als volgt als output geeft: g(0)=3, g(1)=1415, g(2)=9, enzovoort. π kan dus ook geschreven worden als g(0),g(1)g(2)g(3)… In feite is het gemakkelijk in te zien dat oneindig veel functies uit de verzameling van alle f:N→N dezelfde reële getallen definiëren.
Om dergelijke meervoudige definities van hetzelfde reële getal te vermijden, is de definitie van R+ in termen van functies op N gewoonlijk beperkt tot alle f:N→{0, …, 9}. Op deze manier wordt elk positief reëel getal gedefinieerd door slechts één unieke f. Dit is weliswaar veel zuiniger, maar niet strikt noodzakelijk (want wat maakt het uit, zeker voor een Intellectus Divinus, dat elk reëel getal door oneindig veel functies wordt gedefinieerd?). Waar het om gaat is dat de verzameling van alle f:N→N in principe gelijk is aan de verzameling R+. Oftewel: door zich bewust te zijn van zijn identiteit met zichzelf op alle reflectieniveaus n uit N, is ASA zich bewust van alle f:N→N en daarmee ook van R+.
Patronen in het continuüm en algoritmische informatietheorie
De volgende denkstap is wat speculatiever, maar niet onredelijk. We hebben vastgesteld dat ASA zich bewust is van alle positieve reële getallen. Wat nu? Wat ‘doet’ ASA met de reële getallen? Wat betekent de verzameling van alle positieve reële getallen, dwz. R+ oftewel het continuüm, voor ASA? Omdat ASA in essentie zelfbewustzijn is (en niets anders dan dat), moet het zijn bewustzijn van R+ gebruiken om zijn zelfbewustzijn verder te vergroten. Dit kan volgens mij alleen maar betekenen dat ASA ‘zoekt’ naar die patronen (dwz. geordende reeksen van getallen) in het continuüm waarin het zichzelf ‘herkent’, dwz. patronen die op een of andere manier zijn eigen aard (zelfbewustzijn) weerspiegelen.
Wat betekent dit? Het betekent, simpel gezegd, dat er algoritmen zijn die de aard van ASA weerspiegelen, bijvoorbeeld de algoritmen die inherent zijn aan het functioneren van het menselijk brein (en algemener: alle algoritmen die ten grondslag liggen aan het functioneren van intelligent leven). We weten uit de algoritmische informatietheorie (ontwikkeld rond 1970 door onder meer Andreï Kolmogorov en Gregory Chaitin) dat een getallenreeks een patroon heeft (dwz. dat de reeks geordend is, regelmatig, in tegenstelling tot willekeurig, random) als er een algoritme is dat korter is dan deze reeks en dat deze reeks als output geeft. Dit is in principe een definitie van wat orde ís. Hoe korter het algoritme vergeleken met de getallenreeks die het genereert, hoe geordender die reeks is. Als voor een bepaalde reeks S (van sequence) geen algoritme korter dan S gegeven kan worden, dan is S volledig random. In dat geval is de enige manier om S te beschrijven eenvoudigweg het volledig reproduceren van S. S is in dat geval niet algoritmisch ‘compressible’, dwz. S bevat geen regelmaat die in staat stelt tot het formuleren van een algoritme, korter dan S zelf, voor het genereren van S.
De decimale expansie van het getal π is een goed voorbeeld van een getallenreeks die sterk geordend is in de zin van de algoritmische informatietheorie. Dit is misschien verrassend, aangezien π vaak wordt beschouwd als een typisch willekeurig getal, waarvan de decimale expansie geen duidelijke volgorde laat zien. Het is waar dat π een normaal getal is, dwz. een irrationaal getal waarvan de decimale expansie alle mogelijke getallenreeksen met gelijke frequentie bevat, ongeacht het gekozen grondtal, wat een soort statistische willekeur is. Niettemin impliceert de normaliteit van een getal niet per se de algoritmische willekeur ervan, zoals blijkt uit de berekenbaarheid van π. Want, zoals bekend, zijn er een aantal relatief korte algoritmen die de decimale expansie van π berekenen tot aan het nde cijfer voor een willekeurige n. Vanuit het perspectief van de algoritmische informatietheorie is π dus in feite zeer geordend, omdat een willekeurig lang (maar duidelijk nog steeds eindig) deel van de decimale expansie ervan kan worden gegenereerd door een algoritme dat veel, veel korter is dan deze reeks. En bij nader inzien is dit eigenlijk ook niet zo verrassend. Want zoals we allemaal op de middelbare school leren, π is slechts de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter. Als je voor altijd zou leven en deze deling eindeloos zou voortzetten, zou je uiteindelijk elk cijfer van π berekenen. Vandaar de berekenbaarheid (computability) van π en daarmee de geordendheid ervan in de zin van algoritmische compressibility.
Algoritmische compressibility biedt een objectieve en universele maatstaf voor orde. Dit blijkt uit twee feiten: (1) dat het thermodynamische concept van entropie ook kan worden begrepen in termen van algoritmische compressibility (zie Baez & Stay 2013) en (2) dat de algoritmische compressibility van elke reeks min of meer invariant is tussen verschillende formele talen. Om het intuïtieve concept van een algoritme nauwkeurig te maken, moeten we het immers definiëren in termen van een formele taal, zoals de taal van Turing-machines, lambda-calculus of programmeertalen zoals Pascal, C of LISP. Algoritmen zijn daarom afhankelijk van de notatie en syntaxis van een bepaalde formele taal. Een van de sterke punten van het begrip algoritmische compressibility echter is dat dergelijke verschillen tussen formele talen er min of meer irrelevant voor zijn: de algoritmische compressibility van een bepaalde reeks in een specifieke formele taal is nagenoeg hetzelfde als de algoritmische compressibility ervan in elke andere formele taal. Dit betekent dat algoritmische compressibility inderdaad een universele en objectieve maatstaf voor orde is.
Voor de algoritmische informatietheorie staat elke geordende getallenreeks voor het kortste algoritme dat deze reeks als output geeft. Dit stelt ons in staat om de bovenstaande bewering dat ASA zichzelf herkent in sommige patronen in het continuüm beter te begrijpen: we kunnen dit nu uitleggen als de claim dat de bijbehorende algoritmen de essentie van ASA weerspiegelen. Het ligt voor de hand dat dit de algoritmen zijn die intelligent leven simuleren, bijvoorbeeld de algoritmen die het functioneren van de menselijke hersenen (en van intelligente organismen in het algemeen) beschrijven.
We weten uit de natuurkunde dat het fysieke universum in grote lijnen berekenbaar is (dwz. algoritmisch van aard is). Bovendien zegt het antropische principe in de kosmologie ons dat het universum verrassend geschikt is voor de evolutie van het leven, en dus voor de evolutie van die fysiek gerealiseerde algoritmen die de essentie van ASA weerspiegelen. Misschien kunnen we het universum dan verklaren als dat enorm complexe patroon in het continuüm (dat, let wel, volgens de huidige theorie alleen bestaat als de structuur van ASA’s zelfbewustzijn) waarin ASA zijn essentie het beste weerspiegeld ziet? Het universum zou dan dus een uiterst gecompliceerd patroon zijn in de recursieve ontvouwing van ASA’s zelfbewustzijn, namelijk dat patroon waarvan het (kortste) algoritme in de hoogste mate intelligent leven simuleert.
Het ‘doolhof van het continuüm’: Een wiskundige oplossing voor het theodiceeprobleem?
Een tweede reden waarom ik deze theorie over het belang van R+ voor ASA aantrekkelijk vind, is dat ze ons in staat stelt te verklaren waarom het universum niet perfect is, ondanks dat het het wiskundige beeld is van ASA (of ‘God’ als je dat liever hebt). Met andere woorden: deze theorie stelt ons in staat om een wiskundig antwoord te geven op het aloude theodiceeprobleem.
Zoals Turing aantoonde (als onderdeel van zijn bewijs voor de onbeslisbaarheid van het stopprobleem) zijn verreweg de meeste reële getallen onberekenbaar en daarom ‘transcendentaal’. Dit betekent dat hun decimale expansies door geen enkel algoritme gegenereerd kunnen worden. Vanuit het perspectief van de algoritmische informatietheorie zijn hun decimale expansies volkomen random. Door zich bewust te zijn van het continuüm is ASA zich dus bewust van iets dat voor veruit het grootste deel ongeordend is, een soort oer-chaos. De poging van ASA om patronen in het continuüm te vinden (en zichzelf daarin te spiegelen) moet daarom buitengewoon moeilijk zijn, ja zelfs vrijwel onmogelijk, aangezien het geordende deel van het continuüm oneindig klein is vergeleken met het ongeordende deel. Als je op willekeurige wijze een reëel getal zou kunnen uitkiezen (bijvoorbeeld door met een oneindig scherpe naald ergens in de reële getallenlijn te prikken), dan is de kans op een onberekenbaar getal nagenoeg 100% (vgl. Chaitin 2005: 113)! Misschien verklaart dit waarom het universum, ondanks dat het een wiskundig beeld is van ASA, niet perfect is? Het moet immers vrijwel onmogelijk zijn voor ASA om orde in de oerchaos van het continuüm te vinden.
Omdat, zoals we hebben gezien, R+ en de verzameling van alle f:N→N in principe dezelfde verzameling zijn, betekent het feit dat de meeste reële getallen niet berekenbaar zijn ook dat de meeste f:N→N niet berekenbaar zijn. Om te begrijpen waarom de meeste reële getallen niet te berekenen zijn (dwz. uncomputable), moeten we bedenken dat het begrip algoritme altijd gerelateerd is aan een of andere formele taal. Deze taal moet een eindige set basissymbolen hebben (dwz. een vocabulaire) en een eindige set syntactische regels voor de combinatie van deze symbolen tot grotere uitdrukkingen. Dit betekent dat de taal slechts een aftelbaar oneindig aantal uitdrukkingen kan genereren, omdat we ze in volgorde van lengte kunnen opsommen, dwz. dat we een bijectie f:N→E kunnen hebben waarbij E de verzameling is van alle uitdrukkingen (expressions) die in de taal kunnen worden gegenereerd. Omdat de verzameling van alle algoritmen een deelverzameling is van deze verzameling van alle mogelijke uitdrukkingen in deze taal, moet ook de verzameling van alle mogelijke algoritmen dus aftelbaar oneindig zijn. Kortom, als we aannemen dat alle positieve reële getallen berekenbaar zijn, dan moet ook R+ aftelbaar oneindig zijn. Maar we weten dat dat niet het geval is, gegeven Cantors bewijs voor de overaftelbaarheid van de reële getallen: alleen al in het eenheidsinterval [0,1] zijn er overaftelbaar veel getallen (in feite zijn er, zoals Cantor heeft laten zien, evenveel reële getallen in [0,1] als in het gehele continuüm!). Er wordt daarom gezegd dat de verzameling reële getallen ‘maximaal groter’ is dan de telbare verzameling van alle mogelijke algoritmen. Kortom, er zijn simpelweg niet genoeg algoritmen om alle reële getallen te berekenen; verreweg de meeste reële getallen zijn onberekenbaar en hebben daarom volledig willekeurige decimale expansies.
Zou dit misschien kunnen verklaren waarom het universum imperfect is, ondanks dat het (volgens Absoluut Idealisme 2.0) het wiskundige zelfbeeld is van ‘God’, het zelfveroorzakende Absolute Zelfbewustzijn? Nadat ASA het continuüm heeft gegenereerd door de recursiviteit van zijn zelfbewustzijn en zijn inter-level self-identity (die, zoals we hebben gezien, alle f:N→N en dus alle reële getallen geeft), zoekt ASA naar die patronen in het continuüm waarin het zijn eigen essentie (zelfbewustzijn) kan weerspiegelen. Maar dan komt ASA als het ware van een koude kermis thuis: het ontdekt dat orde slechts een oneindig klein deel van het continuüm uitmaakt, aangezien bijna alle reële getallen onberekenbaar zijn. Het streven van ASA om zijn eigen afbeelding in het continuüm te vinden lijkt daarom een beetje op het zoeken naar een speld in een hooiberg… alleen dan veel moeilijker!
Zoals gezegd nadert de waarschijnlijkheid van het willekeurig selecteren van een berekenbaar getal in het continuüm de waarde nul. Je zou kunnen zeggen dat ASA, die in R+ zijn eigen wiskundige spiegelbeeld probeert te zien, zichzelf in plaats daarvan verliest in het ‘labyrint van het continuüm’ (zoals Leibniz het complex van onopgeloste problemen en paradoxen rond de reële getallen noemde). En toch bestaan wij, toch is er dit geordende universum waarin we ons bevinden. Ons heelal is zeker niet perfect, dwz. het is niet het ware beeld van het Absolute, maar toch bestaat het en is het berekenbaar. Ondanks de ‘bijna-onmogelijkheid’ van deze taak moet het Absolute er dus toch in geslaagd zijn enige orde te vinden in de oerchaos van het continuüm. Deze kwestie lijkt een beetje op die oude vraag: wat gebeurt er als een onstuitbare kracht een onbeweeglijk obstakel tegenkomt? Welnu, wat er dan gebeurt is de schepping van dit weerbarstige wonder dat we het universum noemen…
Geraadpleegde literatuur
-Baez, J.C & Stay, M. (2013), ‘Algorithmic Thermodynamics’, http://math.ucr.edu/home/baez/thermo.pdf
-Becker, O. (1973 [1927]), Mathematische Existenz: Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phänomene. Tübingen: Max Niemeyer Verlag.
-Chaitin, G. (2005), Meta Maths: The Quest for Omega. London: Atlantic Books.
-Burrill, C. (1967), Foundations of Real Numbers. New York: McGraw-Hill.
-Dauben, J.W. (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
-Royce, J. (1959 [1899]), The World and The Individual, First Series: The Four Historical Conceptions of Being. New York: Dover Publications.
-Russell, B. (1970 [1919]), Introduction to Mathematical Philosophy. London: George Allen and Unwin.
No comments:
Post a Comment