Showing posts with label natuurkunde. Show all posts
Showing posts with label natuurkunde. Show all posts

De ‘Kosmische Computer’ – Een idealistische benadering


In een eerder artikel heb ik de basis-ideeën uiteengezet van een theorie die ik graag – bij gebrek aan een betere term – Absoluut Idealisme 2.0 noem. Daarin gebruik ik moderne wiskunde en computatiewetenschap om een digitale versie van het oude Absoluut Idealisme te formuleren: het “Absolute Bewustzijn” van filosofen als Fichte, Schelling en Hegel blijkt dan de ‘kosmische computer’ te zijn. Volgens deze theorie bestaat ons heelal als computationele structuur in de wiskundige ontvouwing van het Absolute Zelfbewustzijn. In het volgende geef ik hier wat meer achtergrond bij: ik ga in op de terugkeer van het Idealisme in de hedendaagse filosofie en natuurkunde. Daarbij zal ik met name ingaan op de digitale fysica en de hypothese van het heelal-als-computer(-programma). Die hypothese roept de vraag op wat de ‘kosmische hardware’ is waarop het computerprogramma van ons heelal dan draait. Zoals ik in het bijzonder zal laten zien, kan deze ‘kosmische hardware’ zelf niet in fysische termen begrepen worden. Daarvoor is dus een vorm van Idealisme nodig.


Terugkeer van het Idealisme?

Maar voordat we ingaan op het kosmische hardware-probleem, moeten we ons eerst afvragen of het Absoluut Idealisme überhaupt nog levensvatbaar is. De ambitieuze systemen van het Duits en Brits Idealisme behoren immers tot de grote verliezers van de 20ste eeuwse filosofie. Met name de analytische filosofie is gebouwd op de graven van denkers als Green, Bradley en McTaggart. Zeker tot 1900 stond de Britse filosofie in het teken van “the Eternal Mind” (Green), waarvan de materiële wereld in ruimte en tijd een verschijning zou zijn (een illusoire verschijning zelfs, aldus Bradley en McTaggart). Ook daar echter stortte het Absoluut Idealisme uiteindelijk in, door de mokerslagen van Russell en Moore die – gewapend met de nieuwe mathematische logica, het oude empirisme en een flinke dosis common sense – korte metten maakten met alle ‘metafysische speculatie’ over de ‘Wereldgeest’ (Hegels Weltgeist). Vanaf dat moment stond de Angelsaksische filosofie in het teken van logische taal-analyse en de verdediging en uitwerking van het wetenschappelijke wereldbeeld. Idealisme werd vervangen door natuurkundig Materialisme: de realiteit bestaat niet primair uit geest of bewustzijn, maar uit materiële deeltjes als moleculen, atomen, elektronen, etc. Bewustzijn is slechts een secundair product en ontstaat uit materie zodra deze door Darwinistische evolutie een kritieke organisatiegraad heeft bereikt, zoals in de menselijke hersenen.


Toch is de overwinning van het Materialisme nooit totaal geweest. Al in de eerste decennia van de 20ste eeuw ontstonden er scheurtjes in het materialistische wereldbeeld, met name – ironisch genoeg – door de ontwikkeling van de natuurkunde zelf. De net ontwikkelde kwantummechanica leek de waarneming (en daarmee het bewustzijn) een constitutieve rol toe te bedelen in de zogenoemde “ineenstorting van de golffunctie”, wat aanleiding heeft gegeven tot diverse (quasi-)idealistische interpretaties van de kwantummechanica (o.a. bij Bohr, Von Neumann, Wheeler, Wigner en Stapp). Hoewel interpretatie van de kwantummechanica nog altijd een uiterst controversieel terrein is, wordt ook de meer recente experimentele bevestiging van Bells theorema (dat “lokaal realisme” uitsluit) opgevat als een aanwijzing dat de kwantummechanica idealistisch geïnterpreteerd moet worden (Hoffman 2019: 96-98). 


Ook in de filosofie – met name de analytische filosofie – valt er een opmerkelijke terugkeer naar idealistische posities te bespeuren. Zo pleiten de “Pittsburgh Hegelians” McDowell en Brandom op basis van “semantisch holisme” voor een (analytisch gekuiste) versie van het Absoluut Idealisme (hoewel hun epistemologische insteek minder relevant is voor de ontologische inzet van het Absoluut Idealisme 2.0). Ook in de philosophy of mind zien we dat het Materialisme steeds meer betwijfeld wordt en er een heroriëntatie plaatsvindt ten aanzien van de status van bewustzijn in de materiële wereld – zoals in het verrassend populaire Panpsychisme, waarin bewustzijn gezien wordt als een inherente eigenschap van álle materie, dus ook van ogenschijnlijk levenloze objecten als stenen, sterren en atomen. 


Een cruciale stap in deze ontwikkeling was de uitwerking van het zogenoemde “moeilijke probleem van het bewustzijn” (hard problem of consciousness) door met name Chalmers, die via een scala aan logische argumenten liet zien dat materialistische verklaringen van bewustzijn uiterst problematisch zijn en tegen aporieën aanlopen. Natuurlijk zijn er significante correlaties tussen hersenprocessen en bewustzijnsprocessen, maar – zoals Chalmers e.a. hebben laten zien – dit betekent niet dat bewustzijn restloos vanuit de hersenen verklaard kan worden. Als echter het bewustzijn geen effect van materie is, welke ontologische status heeft het dan wel? Moeten we de afhankelijkheidsrelatie dan wellicht omdraaien en met het Idealisme zeggen: materie is een effect van bewustzijn?


Uitgaande van het “moeilijke probleem van het bewustzijn” kunnen we inderdaad een (indirect) argument voor het Idealisme formuleren, dat ik hier kort zal samenvatten. We kunnen dit het Sherlock Holmes-argument voor het Idealisme noemen, naar de typische logica van de beroemde detective: “Als je al het onmogelijke hebt geëlimineerd, moet datgene wat overblijft – hoe onwaarschijnlijk ook – de waarheid zijn.” Welbeschouwd staan ons namelijk slechts vier mogelijkheden ter beschikking om de relatie tussen materie en bewustzijn te begrijpen: (1) materie verklaart bewustzijn (Materialisme), (2) bewustzijn verklaart materie (Idealisme), (3) materie en bewustzijn zijn gescheiden substanties (Cartesiaans Dualisme) en (4) materie en bewustzijn worden beide verklaard door een derde, onbekende substantie (Neutraal Monisme, dat bijvoorbeeld door Spinoza werd aangehangen). We kunnen nu de meest twijfelachtige of onhoudbare posities wegstrepen; zoals we zullen zien, blijft dan alleen het Idealisme over. 


We zagen al dat het Materialisme van optie (1) wegvalt door het “moeilijke probleem van het bewustzijn”. Het Dualisme van optie (3) struikelt over het aloude geest-lichaam-probleem: als bewustzijn en materie gescheiden substanties zijn, hoe kunnen ze dan interacteren? Ook het Neutraal Monisme van optie (4) is onaantrekkelijk, omdat het volstrekt onduidelijk blijft wat de onderliggende substantie is, waaruit zowel materie als bewustzijn zouden voortkomen. The last man standing, kortom, is het Idealisme van optie (2): materie moet begrepen worden als een manifestatie van bewustzijn. Zo lijkt het moeilijke probleem van het bewustzijn – weliswaar indirect – de juistheid van het Idealisme aan te tonen (vgl. Hutto 2000; Hoffman 2019).


Het heelal-als-computer(-programma)

Een tweede natuurkundige ontwikkeling die – naast de kwantummechanica – in de richting van het Idealisme wijst, is de opkomst van de digitale fysica, die zoals gezegd de computationele aspecten van de fysische natuur onderzoekt. Met name de hypothese van het heelal-als-computer(-programma) laat zich moeilijk met het materialisme rijmen. Oorspronkelijk ontwikkeld door natuurkundigen en computerwetenschappers als Fredkin, Wolfram, Toffoli, Lloyd en (zij het met bedenkingen) Deutsch, heeft deze hypothese ook diverse filosofen gestimuleerd (zoals Bostrom en Chalmers) en uiteraard tot de verbeelding gesproken van tal van science-fiction boeken en films. Vooral The Matrix (1999), waarin de mensheid gevangen wordt gehouden in een virtuele schijnwereld gecreëerd door kwaadaardige robots, heeft publieke bekendheid gegeven aan de theoretische mogelijkheid dat onze wereld een computersimulatie is.


Dat dit idee de scifi-fantasie prikkelt is niet verwonderlijk, maar ook de wetenschappelijke aantrekkingskracht ervan is begrijpelijk. Het centrale punt is de nagenoeg volledige berekenbaarheid (computability) van fysische processen. Zoals Deutsch (2008: 2) opmerkt, zijn de functionele afhankelijkheidsrelaties in de fysische natuur “altijd steevast” beschrijfbaar als berekenbare functies (computable functions), dwz. input-output-functies die door algoritmes uitgevoerd kunnen worden. Volgens Wolfram (1984: 188, 203) zijn de natuurwetten simpelweg algoritmes, die een toestand van een fysisch systeem S op tijdstip t₁ als input nemen om een toestand van S op een tijdstip t₂ als output te geven. Het is deze inherente berekenbaarheid van de natuur die ons in staat stelt tot natuurkunde én om überhaupt computers te maken, niet slechts in abstracto als mathematisch concepten (zoals Turing de logische structuur van de Turing-machine heeft bedacht), maar als concrete fysische objecten. In feite gebruiken we dan het computationele karakter van fysische processen voor onze eigen doeleinden: “Onze computers doen niets meer dan een deel van het heelal herprogrammeren, om het te laten berekenen wat wij willen berekenen.” (Zenil 2013: 1) 


De totale ontwikkeling van het heelal, van de oerknal tot nu, kan beschreven worden als een alomvattende ‘supercomputatie’ waarin de natuurwetten als algoritmes fungeren. Aldus computerwetenschapper Toffoli (1982: 165): “In zekere zin berekent de natuur al miljarden jaren lang continu de ‘volgende toestand’ van het heelal [...].” De algoritmes van individuele fysische processen – van de formatie van sterrenstelsels tot de elektrochemische processen in onze hersenen – kunnen dan begrepen worden als subroutines in deze kosmische supercomputatie. Maar als het heelal één grote computatie is, dan kan het heelal net zo goed als een computer beschreven worden, waarop de natuurwetten als software draaien. Kwantumtheoreticus Deutsch, hoewel kritisch op de hypothese van het heelal-als-computer(-programma), wijst op de verklarende kracht ervan: “Op het eerste gezicht lijkt dit een veelbelovende strategie te zijn om de connecties tussen fysica en computatie te verklaren: misschien zijn de wetten van de fysica wel formuleerbaar in termen van computerprogramma’s omdat ze daadwerkelijk computerprogramma’s zijn.” (Deutsch 2011: 190) 


Diverse andere argumenten ondersteunen vervolgens deze conclusie. Zo is er bijvoorbeeld het feit dat – wiskundig gezien – de natuurwetten van ons heelal slechts een (minieme) deelverzameling vormen van de omvattende en oneindig grote verzameling van alle algoritmes. Vanuit wiskundig oogpunt hadden onze natuurwetten dus net zo goed anders kunnen zijn, wat bijdraagt aan het beeld van het heelal als computerprogramma: de ‘kosmische computer’ had net zo goed een ander ‘heelal-programma’ kunnen draaien. Een volgende overweging extrapoleert vanuit de exponentiële groei van rekenkracht bij computers (Moore’s wet) en de navenant groeiende mogelijkheid om computersimulaties te genereren: op een gegeven moment zullen computersimulaties zó realistisch zijn dat ze nauwelijks meer van ‘echt’ te onderscheiden zijn. In dat geval kan de fysieke realiteit net zo goed als een virtuele realiteit begrepen worden (conform het principe: als het eruit ziet als een eend, kwaakt als een eend, loopt als een eend, dan is het waarschijnlijk een eend; zie Steinhart 2014: 78). 


Ten slotte wordt volgens sommige wetenschappers (zie Vopson 2023) de hypothese van het heelal-als-computer(-programma) empirisch bevestigd door bepaalde fysische eigenschappen van het heelal die wijzen op data-compressie, wat onder computerwetenschappers en -programmeurs een bekende techniek is om het functioneren van computers te optimaliseren. We kunnen dan retorisch vragen: waarom zou het heelal gebruik maken van data-compressie, als het zelf geen computer(-programma) zou zijn? 

 

Is de kosmische hardware fysisch? (1) Het cirkel-probleem
Zodra we uitgaan van de hypothese van het heelal-als-computer(-programma), veronderstellen we ook meteen het onderscheid tussen software en hardware, dwz. enerzijds de algoritmes van de natuurwetten en anderzijds de onderliggende ‘machine’ waarop deze algoritmes draaien. Dit roept echter een hoop nieuwe vragen op (zie Brown 2000: 333), zoals: Waarom draaien deze algoritmes op de kosmische hardware? Wie of wat heeft, bij wijze van spreken, op de startknop gedrukt? En waarom juist deze algoritmes en niet een andere deelverzameling van alle mogelijke algoritmes? En wat is dan de kosmische hardware, de ‘machine’ waarop de natuurwetten draaien? Zoals gezegd is het vooral dit laatste probleem dat om een Idealistische oplossing vraagt. 


Het probleem is dat de kosmische hardware zelf niet in fysische termen begrepen kan worden. Fysische realiteit is immers die realiteit die door de natuurwetten wordt beschreven; dus als de natuurwetten gezamenlijk de software vormen, dan moet de hardware logisch gezien daaraan voorafgaan. De hardware vormt een fundamentelere realiteit, die aan de “virtuele realiteit” van het fysische ten grondslag ligt: “Volgens de digitale fysica is ons heelal een software-proces draaiend op een computer. Ons heelal is virtueel. Natuurlijk impliceert virtualiteit niet dat ons heelal onwerkelijk is. Het betekent slechts dat dat het niet in ultieme zin werkelijk is. Net zoals een golf supervenieert op water, zo superveniëren alle fysische dingen in ons heelal op een computer.” (Steinhart 2014: 78) Ultiem werkelijk is alleen de onderliggende computer, die dan echter non-fysisch of “sub-fysisch” moet zijn (ibidem). 


Zoals Fredkin, een van de pioniers van de digitale fysica, zegt: de kosmische hardware kan niet in het (gesimuleerde) heelal bestaan, maar moet daar principieel ‘buiten’ vallen: “Op de vraag waar de Ultieme Computer zich bevindt, kunnen we een [...] precies antwoord geven: deze bevindt zich niet in het heelal – maar is ergens anders. Als ruimte en tijd en materie en energie allemaal gevolgen zijn van de informatieverwerking die draait op de Ultieme Computer, dan wordt alles in ons heelal gerepresenteerd door dat informationele proces. De plek waar die computer bestaat, de machine waarop dat proces draait, noemen wij daarom “het Andere”.” (Fredkin 1992) 


Deze conclusie is echter voor sommige theoretici binnen de digitale fysica lastig te accepteren, met name de natuurkundigen. Zij zijn immers beroepshalve geneigd om de fysieke realiteit te zien als de ultieme realiteit, waartoe alle andere ‘werkelijkheidsniveaus’ gereduceerd moeten worden (van psychologie naar neurologie, van neurologie naar biologie, van biologie naar scheikunde, en ten slotte van scheikunde naar natuurkunde). De overtuiging dat natuurkunde de meest fundamentele wetenschap is, is voor veel natuurkundigen een bron van trots (of arrogantie, zoals sommigen menen). Natuurkundigen die binnen de digitale fysica werken, zijn daarom vaak geneigd om de kosmische hardware zelf ook als fysisch te begrijpen. Dit zorgt voor een zekere ambiguïteit in de hypothese van het heelal-als-computer(-programma) (en vandaar de haakjes rond “-programma”): is het heelal zelf de hardware waarop de natuurwetten draaien, of is het heelal – als gedefinieerd door die natuurwetten – slechts het programma dat door die computer gedraaid word?

Sommige theoretici houden onvoldoende rekening met deze ambiguïteit en halen zo de niveaus van hardware en software door elkaar, wat tot paradoxale resultaten leidt. Als we de kosmische hardware zelf ook als fysisch begrijpen, dan komen we ofwel in een vicieuze cirkel terecht, ofwel in een regressie. Beide komen we tegen in de digitale fysica. De cirkel vinden we bijvoorbeeld bij kwantumtheoreticus Lloyd, die het heelal zelf ziet als de hardware waarop de natuurwetten draaien: “De machine die de “universele” computatie uitvoert is het heelal zelf.” (Lloyd 2007: 16) Aangezien echter het heelal als fysisch object zelf pas ontstaat door de computationele werking van de natuurwetten, is het heelal dan zowel datgene wat berekend wordt als de computer die de berekening uitvoert – een circulaire verhouding die Lloyd echter probleemloos lijkt te omarmen: “Wat berekent het heelal? Het berekent zichzelf.” (Idem: 3)


Lloyd probeert het paradoxale van die cirkel te omzeilen door het heelal-als-computer op te vatten als een “cellulaire automaat”, bestaande uit elementaire cellen die met elkaar interacteren en daarbij volgens de algoritmes van de natuurwetten informatie verwerken. Het is bekend dat dergelijke cellulaire automaten als volwaardige computers kunnen functioneren. Het problematische aan Lloyds visie is echter dat hij de ‘rekenende cellen’ zonder meer gelijkstelt aan fysische objecten: “Elke molecuul, elk atoom en elementair deeltje registreert bits aan informatie. Elke interactie tussen die onderdelen van het heelal verwerkt die informatie door de bits te veranderen. Dat wil zeggen, het heelal rekent, en omdat het heelal beheerst wordt door de wetten van de kwantummechanica, rekent het op een intrinsiek kwantummechanische wijze [...].” (Idem: 3) Dus door causaal met elkaar te interacteren, kortom, verwerken fysische objecten bits aan informatie volgens de algoritmes van de kwantummechanische wetten. 


Dat lijkt op het eerste gezicht een elegante oplossing voor het kosmische hardware-probleem, maar bij nader inzien blijft de situatie paradoxaal. Alle fysische objecten zijn immers zelf ook volgens de natuurwetten ooit ontstaan – denk aan het allereerste moment van de oerknal, toen zelfs de meest elementaire deeltjes nog niet bestonden. De eerste deeltjes ontstonden minuscule fracties van een seconde na de oerknal, de wat complexere deeltjes ontstonden enkele seconden of minuten daarna, de eerste atomen ontstonden pas zo’n 380.000 jaar later, en moleculen nog veel later. Het punt is dat al deze deeltjes vanuit de oerknal ontstonden volgens de algoritmes van de natuurwetten en dus als resultaten van wat Lloyd de “universele computatie” noemt. Kortom, fysische objecten kunnen niet ingezet worden als de ‘rekenende cellen’ om deze computatie uit te voeren: fysische objecten zijn zelf de uitkomsten van die computatie. Ook de cellulaire benadering van het heelal-als-computer komt niet uit onder de principiële scheiding tussen niet-fysische hardware en de virtuele realiteit van het fysische. 


Is de kosmische hardware fysisch? (2) Het regressie-probleem

Willen we deze cirkel vermijden en desondanks vasthouden aan de fysische realiteit van de kosmische hardware, dan komen we uit bij de tweede hoorn van het dilemma. Software en hardware blijven dan gescheiden niveaus. Het gevolg is echter dat elke hardware – qua fysische realiteit – zelf ook weer begrepen moet worden als software draaiend op een nog fundamentelere fysische hardware, enzovoort. We krijgen dan een eindeloze hiërarchie van fysische realiteiten, waarbij elke realiteit berekend wordt vanuit een onderliggende fysische realiteit. 


Voor kwantumtheoreticus David Deutsch is het met name deze dreigende regressie die hem aan de hypothese van het heelal-als-computer(-programma) doet twijfelen: “Er zou dan dus een onderliggende fysica verantwoordelijk zijn voor deze computer, en [...] die onderliggende fysica zou dan niet op haar beurt ook een programma uitgevoerd door een computer kunnen zijn, tenzij je een oneindige regressie wil aannemen. Hoe dan ook, de hypothese lost niets op.” (Deutsch in Brown 2000: 335) Merk op dat Deutsch hier, als een typische natuurkundige, voetstoots ervan uitgaat dat ook de kosmische hardware fysisch moet zijn; het is echter juist die veronderstelling die tot de regressie leidt. Met de hypothese van het heelal-als-computer(-programma) op zich is dus niets mis.

Maar Deutsch heeft natuurlijk gelijk dat het idee van een oneindige hiërarchie van fysische realiteiten, waarbij elk niveau vanuit een onderliggend niveau berekend wordt, niets oplost. Deze regressieve optie is zo mogelijk nog absurder dan de circulaire zelf-berekening van het heelal bij Lloyd. Toch is juist deze optie verrassend populair, met name in de literatuur naar aanleiding van Bostroms veelbesproken “simulatie-argument”, waarin hij onderzoekt hoe groot de kans is dat wij leven in een computersimulatie gecreëerd door een technologisch superieure beschaving (Bostrom 2003). In dat kader suggereert hij dat ook díe beschaving zou kunnen leven in een computersimulatie, gecreëerd door een nog eerdere beschaving, etc. Zo ontstaat het idee van nested simulations: “Virtuele machines kunnen gestapeld worden: het is mogelijk om een machine te simuleren die een andere machine simuleert, enzovoort in een arbitrair aantal iteraties.” (Idem: 12) Bostrom blijft echter (relatief) voorzichtig in die zin dat hij blijft vasthouden aan een “basement-level” (ibidem), dwz. een ‘oer-heelal’ waarin de allereerste hoogtechnologische beschaving ontstaat die tot computersimulatie van andere werelden overgaat (waarin vervolgens weer andere werelden gesimuleerd worden, enzovoort). Het probleem is echter dat de fysica van dat ‘oer-heelal’ dan onverklaard blijft of tenminste niet in termen van computatie begrepen kan worden; mede daarom noemt Bostrom de “metafysische status” van de aanname van een oer-heelal “enigszins onduidelijk” (Bostrom 2003: 12). De verklaringsstrategie van de digitale fysica stokt dan. 


We zien Bostroms voorzichtigheid dan ook verdwijnen bij andere denkers, die zijn suggestie van nested simulations oppakken om de verklaringsstrategie van de digitale fysica wél consequent vol te houden. Met name Steinhart introduceert het idee van “iterated simulationism”, waarin de optie van eindeloze regressie bewust omarmd wordt. Beginnend met ons heelal als niveau nul (in die zin dat wij technologisch nog niet in staat zijn tot simulatie van andere heelallen), postuleert Steinhart (2014: 92-93) een oneindige reeks van steeds fundamentelere heelallen, waarbij elk heelaln gesimuleerd wordt vanuit een heelaln+1. De reeks heelallen is dan isomorf met de oneindige verzameling van de natuurlijke getallen ℕ={0, 1, 2, 3, … }. 


Vanuit het perspectief van de digitale fysica blijft zo inderdaad geen enkel heelal onverklaard. Bovendien heeft elk heelal slechts een eindig aantal gesimuleerde heelallen onder zich (aangezien elk getal in ℕ eindig is), zodat ook de “computationele kosten” (zoals rekenkracht en energie) voor elk heelal eindig en dus ‘behapbaar’ blijven. De reeks als geheel is echter oneindig: net zoals er geen hoogste getal in ℕ is, is er ook geen ‘hoogste heelal’ vanwaaruit de overige heelallen als simulaties verklaard kunnen worden (eindigend met ons heelal als nul-niveau). De vraag blijft dan: waarom bestaat de reeks als geheel? Elk heelal wordt wel verklaard vanuit een fundamenteler heelal, maar de oneindige reeks van heelallen zelf blijft onverklaard. 


Steinhart (idem: 94) is zich van dit probleem bewust en hij formuleert er een wiskundig elegante oplossing voor; het punt is echter dat de vraag naar de kosmische hardware zo dubbel en dwars terugkeert. In zijn oplossing maakt Steinhart gebruik van Cantors theorie van het transfiniete, waarin er voor elke reeks eindeloos groeiende getallen een eerstvolgend limiet-getal bestaat, dat groter is dan alle voorafgaande getallen; voor de reeks van de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, … is dat het getal ⍵ (omega), het eerste oneindige getal. En net zoals ⍵ in de verzamelingentheorie gelijkgesteld wordt aan de verzameling ℕ={1, 2, 3, …}, zo postuleert Steinhart op niveau ⍵ een ‘Super-Computer’ die de oneindige reeks van gesimuleerde heelallen in gesimuleerde heelallen omvat en berekent. 


Deze ‘Super-Computer’ noemt hij de “Godheid” (Deity): “De limiet-regel stelt dat er een oneindig hoge machine M(⍵) bestaat. Aangezien deze oneindig hoog is, is deze machine de Godheid. [...] Terwijl elke eindige machine zich tot zijn opvolger verhoudt als software tot hardware, is de Godheid geen software voor enige hardware – integendeel, deze is pure hardware (wat voor digitalisten misschien hetzelfde betekent als de uitspraak dat de Godheid puur zijn is). [...] Fysisch zijn betekent virtueel zijn. Echter, omdat de Godheid pure hardware is, is de Godheid niet fysisch. [...] De Godheid is een supra-fysische computer, wiens zelfgerichte cognitie alle fysische existentie genereert.” (Idem: 95-97)


Het zal duidelijk zijn dat Steinharts oplossing, hoe elegant en fascinerend ook, uiteindelijk meer vragen oproept dan beantwoordt. Uiteindelijk is zijn oplossing nogal inconsistent. De hele bedoeling van Steinharts iterated simulationism is immers om vast te kunnen houden aan het fysische karakter van de kosmische hardware (zie idem: 81); juist daarvoor werd de eindeloze regressie van gesimuleerde heelallen in gesimuleerde heelallen omarmd. Dus als Steinhart vervolgens ter verklaring van deze oneindige reeks een niet-fysische ‘Super-Computer’ M(⍵) postuleert, dan is dat in strijd met die bedoeling. Het fysische karakter van de (ultieme) kosmische hardware is dan alsnog opgegeven. Men vraagt zich af waarom de hele hiërarchie van “nested simulations” dan überhaupt nodig was. Als we uiteindelijk toch het niet-fysische karakter van de kosmische hardware moeten toegeven, waarom zouden we dan niet ons heelal rechtstreeks als computersimulatie daaruit verklaren? Dus zonder de regressieve omweg van een fundamenteler heelal gesimuleerd vanuit een nog fundamenteler heelal etc. Kortom, als Steinharts iterated simulationism iets duidelijk maakt, dan is het wel dat het fysische karakter van de kosmische hardware uiteindelijk niet volgehouden kan worden. 


Literatuur

– Bostrom, Nick (2003), “Are you living in a computer simulation?”, in: Philosophical Quarterly, vol. 53, no. 211, pp. 243-255.

– Brown, Julian (2000), Minds, Machines, and the Multiverse: The Quest for the Quantum Computer. Simon & Schuster: New York.

– Deutsch, David (2008), “What is Computation? (How) Does Nature Compute?”, talk held at the 2008 Midwest NSK Conference, October 31-November 2, at Indiana University: https://legacy.cs.indiana.edu/~dgerman/hector/deutsch.pdf

 – Deutsch, David (2011), The Beginning of Infinity: Explanations that Transform the World. Penguin Books: London.

– Fredkin, Edward (1992), “A New Cosmogony”: https://people.duke.edu/~ng46/meteorites/nc-meteorites/Ed%20Fredkin%20-%20A%20New%20Cosmogony.pdf

– Hoffman, Donald (2019), The Case Against Reality: How Evolution Hid the Truth from Our Eyes. Penguin Books: London.

– Hutto, Daniel (2000), Beyond Physicalism. John Benjamins Publishing Company: Amsterdam.

– Lloyd, Seth (2007), Programming the Universe: A Quantum Computer Scientist Takes on the Cosmos. Vintage Books: London.

– Steinhart, Eric (2014), Your Digital Afterlives: Computational Theories of Life after Death. Palgrave Macmillan: New York.

– Toffoli, Tommaso (1982), “Physics and Computation”, in: International Journal of Theoretical Physics, #21, pp. 165-175.

– Vopson, Melvin (2023), Reality Reloaded: The Scientific Case for a Simulated Universe. IPI Publishing: Hampshire.

– Wolfram, Stephen (1984), “Computer Software in Science and Mathematics”, in: Scientific American, #251, September, pp. 188-203.

– Zenil, Hector (2013), “Introducing the Computable Universe”, in: Hector Zenil (ed.), A Computable Universe: Understanding and Exploring Nature as Computation, pp. 1-20. World Scientific Publishing: New Jersey.







De wiskundige ontvouwing van Absoluut Zelfbewustzijn en het theodicee-probleem

Deze post is een vertaalde en enigszins uitgebreidere versie van een ouder artikel op mijn Engelstalige blog.

In eerdere posts heb ik de ruwe contouren geschetst van een hedendaagse versie van het Absoluut Idealisme, een versie die ik – bij gebrek aan een betere term – graag ‘Absoluut Idealisme 2.0’ noem. De filosofische traditie van het Absoluut Idealisme, die zich uitstrekt van de Upanishads in het Oosten en Plotinus in het Westen tot aan de Duitse en Britse Idealisten, kan worden samengevat als de claim dat alles bestaat omdat het wordt gedacht en/of ervaren door een Absoluut Bewustzijn, dat op zijn beurt bestaat omdat het zichzelf denkt/ervaart. Het Absolute Bewustzijn laat dus zichzelf bestaan (oftewel, in de taal van de klassieke filosofie, het is causa sui) simpelweg door zich bewust te zijn van zichzelf. Als zodanig moet dit Bewustzijn primair gedefinieerd worden als Absoluut Zelfbewustzijn (in het volgende gebruik ik hiervoor de afkorting ‘ASA’, van Absolute Self-Awareness). Dit ontologisch zelf-funderende of zelf-veroorzakende vermogen van ASA (vooral ontwikkeld door Plotinus en Fichte) is naar mijn mening een van de sterke punten van het Absolute Idealisme, omdat het een mogelijk (en, naar mijn mening, plausibel) antwoord biedt op de beroemde vraag van Leibniz: Waarom bestaat er iets in plaats van niets?


Dit antwoord is echter alleen iets waard als het concept van ASA ook kan verklaren waarom de werkelijkheid is zoals ze is. We willen niet alleen het bestaan van de werkelijkheid verklaren; we willen ook de aard ervan verklaren. Waarom heeft de werkelijkheid de vorm aangenomen van dit universum dat we om ons heen zien, zich ontwikkelend in ruimte en tijd, geregeerd door deze fysische wetten? Dit is waar de toevoeging ‘2.0’ om de hoek komt kijken. Absoluut Idealisme 2.0 is geïnspireerd door de moderne natuurkunde, die de fundamenteel-wiskundige aard van de fysieke werkelijkheid laat zien, en benadrukt dan ook het nauwe verband tussen wiskunde en de structuur van (absoluut) zelfbewustzijn. In eerdere posts heb ik al enkele ideeën ontwikkeld over deze verbinding (zie hier, hier en hier). In het volgende til ik deze ideeën naar een (iets) hoger niveau. Ik zal eindigen met enkele speculaties over een wiskundige oplossing voor het aloude filosofisch-theologische ‘probleem van het kwaad’, het zgn. theodiceeprobleem.


ASA en de oneindigheid van de natuurlijke getallen

Het basisidee van het Absoluut Idealisme 2.0 is dat ASA, vanwege zijn innerlijke recursiviteit, een oneindige reeks reflectieniveaus genereert, namelijk: zelfbewustzijn, bewustzijn van zelfbewustzijn, bewustzijn van bewustzijn van zelfbewustzijn, etc. – een reeks die isomorf is aan de reeks van de natuurlijke getallen N={0, 1, 2, 3, …}. Als we een structuralistische visie op de wiskunde veronderstellen (zodanig dat wiskundige objecten numeriek identiek zijn als ze isomorf zijn), kunnen we concluderen dat de natuurlijke getallen bestaan omdat ASA ze ‘denkt’ door zijn innerlijke recursiviteit. N is dus de eerste creatie van ASA, direct volgend op zijn onmiddellijke, zelf-funderende zelfbewustzijn.


Dit idee, dat ASA door zijn innerlijke recursiviteit een reeks genereert die isomorf is met N, werd voor het eerst systematisch naar voren gebracht door de Amerikaanse idealist Josiah Royce, beïnvloed door Dedekinds beruchte Gedankenwelt-bewijs voor het bestaan van oneindigheid (zie het ‘Supplementary Essay’ in Royce 1959 [1899]). Anticipaties op dit idee zijn echter al te vinden bij de Neoplatoonse filosoof Plotinus (zoals ik hier uitvoeriger uitleg). Vrijwel hetzelfde idee werd later ontwikkeld door de Husserliaanse fenomenoloog en wiskundige Oskar Becker, die tot in detail laat zien hoe de innerlijke ontvouwing van zelfbewustzijn dezelfde principes vertoont als die welke Cantor gebruikte bij zijn constructie van de transfiniete hiërarchie (zie Becker 1973 [1927]).


Tegen deze interpretatie van N als gefundeerd in de oneindige recursiviteit van het zelfbewustzijn wordt soms ingebracht dat deze oneindige veelheid aan niveaus van zelfbewustzijn menselijkerwijs onmogelijk is: we kunnen ons ervan bewust zijn dat we zelfbewust zijn, en misschien kunnen we ons ook bewust zijn van dit bewustzijn van ons zelfbewustzijn, maar dat is ‘where the buck stops’ voor de meesten van ons. Russell geeft bijvoorbeeld het volgende commentaar op Dedekinds idee dat zelfbewustzijn oneindig veel reflectieniveaus impliceert: ‘Now it is plain that this is not the case in the sense that all these ideas have actual empirical existence in people’s minds. Beyond the third or fourth stage they become mythical.’ (Russell 1970 [1919]: 139)


Het intentionele Droste-effect van zelfbewustzijn

We kunnen deze tegenwerping echter op twee (complementaire) manieren ontkrachten. Het eerste tegenargument komt van de reeds genoemde Oskar Becker, die zoals gezegd vanuit de Husserliaanse fenomenologie naar deze kwestie kijkt. Met name bij dit probleem maakt Becker handig gebruik van Husserls fenomenologie, waarin altijd een strikt onderscheid wordt gemaakt tussen bewustzijn als psychische act (dwz. als empirisch object in de menselijke psyche) en bewustzijn als intentionaliteit (dwz. als de niet-empirische inhoud die door een psychische act bedoeld / geïntendeerd wordt). Neem, bij wijze van simpel voorbeeld, de waarneming van een boom. Enerzijds zijn er de zintuiglijke indrukken, die subjectief zijn en bovendien de boom van slechts één kant laten zien (Husserls Abschattung); dit is de waarneming als empirisch-psychisch fenomeen. Anderzijds is er echter ook de intentionele inhoud van deze waarneming, namelijk de objectieve boom an sich en als geheel (zo weten we dat de boom ook een achterkant heeft, ook al zien we alleen de voorkant). 


Nu is Beckers reactie op Russells tegenwerping (dat de mens slechts tot een zeer beperkt aantal zelfreflectie-niveaus in staat is) dat dit weliswaar geldt voor zelfreflectie als psychische activiteit maar niet voor de intentionele inhoud of structuur van die psychische activiteit. En dat is eigenlijk ook tamelijk logisch, anders zou de mens niet in staat zijn tot het (wiskundige) begrip van oneindigheid. Dat wil zeggen: om oneindigheid te denken, bijvoorbeeld de oneindigheid van N, hoeven we niet oneindig veel psychische akten uit te voeren (dwz. we hoeven niet daadwerkelijk oneindig lang door te tellen), we moeten alleen de intentionele structuur ‘inzien’ van deze psychische activiteit. Aldus Becker: ‘Man muß die Struktur der Betrachtung über die Ineinanderschachtelung der Intentionalitäten sorgfältig unterscheiden von der Struktur dieser Ineinanderschachtelung selber. Die erste Struktur ist von finiter, die zweite von transfiniter Komplikation.’ (Becker 1973, 107)


Om dit te verduidelijken geeft Becker het voorbeeld van een zogenoemd ‘Droste-effect’, naar de befaamde cacao-blikken van het merk Droste, waarop een verpleegster is te zien (cacao zou namelijk goed zijn voor de gezondheid) met in haar handen een dienblad met daarop een kop warme cacao-melk én precies hetzelfde cacao-blik, met daarop exact hetzelfde tafereel. We zien dus een afbeelding die zichzelf afbeeldt in een eindeloze reeks van steeds kleinere afbeeldingen. Becker merkt terecht op dat we van deze reeks slechts de eerste drie of vier afbeeldingen daadwerkelijk zien (de rest is te klein om gezien / getekend te worden), maar dat we meteen ook inzien dat de intentionele structuur van deze waarneming er één is van oneindige zelfafbeelding. Een eindige psychische activiteit kan dus heel goed een oneindige intentionele inhoud hebben. Aldus Becker: ‘Wir “sehen” da deutlich die unendliche Stufung der Bilder ihrer Idee nach, dem Sinne ihrer Intention entsprechend. Aber ebenso deutlich sehen wir – mit den Augen –, daß nur eine ganz kleine Zahl von Stufen, vielleicht 4 oder 5, wirklich körperlich vorliegt. Beides widerspricht sich keineswegs.’ (Becker 1973, 108, n. 1)


Kortom, om terug te keren naar het oorspronkelijke probleem, het feit dat wij in onze zelfreflectie qua psychisch proces slechts in staat zijn tot een beperkt aantal niveaus zegt niets over de intentionele structuur van die zelfreflectie. Sterker nog, zodra we ons bewust zijn van ons bewustzijn treedt er een soort mentaal Droste-effect op, waardoor we in een klap begrijpen dat de intentionaliteit van deze zelfreflectie er eentje is van oneindige zelfbevatting. Russells argument tegen de oneindige recursiviteit van het zelfbewustzijn komt dus te vervallen. 


Oneindigheid en Cantors Intellectus Divinus 

Zoals gezegd is er ook nog een tweede (complementaire) reactie op Russells argument mogelijk. We moeten namelijk ook bedenken dat we in het kader van Absoluut Idealisme 2.0 niet spreken over het menselijk zelfbewustzijn (dat altijd individueel en eindig is), maar over absoluut zelfbewustzijn (ASA) als zelfveroorzakende oorzaak van de gehele werkelijkheid. De veronderstelling dat ASA bestaat, is weliswaar niet vanzelfsprekend, en ik begrijp waarom een filosoof als Russell die veronderstelling zonder meer zou verwerpen (Russell en Moore begonnen de analytische filosofie immers als een opstand tegen het Absolute Idealisme van hun leraren). Niettemin kan het idee dat zelfbewustzijn een zelfveroorzakend vermogen heeft goed verdedigd worden, en ik zie geen ander even plausibel (laat staan plausibeler) antwoord op de vraag van Leibniz: waarom bestaat de werkelijkheid? 


Zodra we de veronderstelling aanvaarden dat ASA de zelfveroorzakende oorzaak van de werkelijkheid is, valt het bovenstaande bezwaar tegen de oneindigheid van reflectieniveaus weg. Want zo’n oneindige complexiteit zal toch zeker geen probleem zijn voor het Absolute, dwz. datgene wat de werkelijkheid als geheel verklaart? We moeten hierbij ook in gedachten houden dat, aangezien zelfveroorzaking ín de tijd uiteraard onmogelijk is, ASA alleen tijdloos kan bestaan. De oneindige hiërarchie van reflectieniveaus binnen ASA kan dus niet worden opgevat als een louter potentiële oneindigheid, die zich in de tijd ontvouwt: deze hiërarchie moet veeleer worden opgevat als een tijdloos bestaande feitelijke oneindigheid, die ‘in één keer’ tot stand is gebracht door de ASA, in de nunc stans van zijn tijdloze zelfbewustzijn.


Ik merk hier terloops op dat dit idee van een oneindige hiërarchie van reflectieniveaus binnen ASA (een hiërarchie die zich zelfs uitstrekt tot in het transfiniete, zoals Oskar Becker betoogt) wonderwel past bij Cantors oorspronkelijke visie op de transfiniete verzamelingenleer. Cantor was een diep religieuze man, die niet minder geïnteresseerd was in theologie en metafysica dan in wiskunde. Voor hem werd het bestaan van de oneindige hiërarchie van het transfiniete gegarandeerd door God, in wiens geest alle oneindige verzamelingen als afzonderlijke ideeën zouden bestaan. Deze verzamelingen, zoals Cantor schreef, ‘exist in the highest degree of reality as eternal ideas in the Intellectus Divinus’ (geciteerd in Dauben 1979: 228). Het is duidelijk dat andere wiskundigen de theologische opvattingen van Cantor over het algemeen afkeuren (soms interpreteren ze deze opvattingen zelfs als tekenen van Cantors geestesziekte, waar zeker een vleugje religieuze waanzin bij zat). Voor de meeste wiskundigen kan de transfiniete verzamelingenleer prima functioneren zonder een basis in theologische metafysica. Maar vanuit het perspectief van Absoluut Idealisme 2.0 zijn de theologische opvattingen van Cantor niet zo vreemd. Je zou zelfs kunnen zeggen dat wij, door te pleiten voor de zelfveroorzaking van ASA en de inherente recursiviteit ervan (die de oneindige hiërarchie van reflectieniveaus genereert), een filosofische basis geven aan Cantors geloof in het bestaan van de oneindige hiërarchie in de Intellectus Divinus (overigens een uiterst Neoplatoonse formulering).


ASA en de verzameling van de reële getallen

De volgende denkstap in de ontvouwing van het Absoluut Idealisme 2.0 is het besef dat ASA, door zijn bewustzijn van de natuurlijke getallen, zich ook bewust is van alle mogelijke afbeeldingen (mappings) van de natuurlijke getallen naar de natuurlijke getallen. En dat impliceert dat ASA zich bewust is van alle totale functies f:N→N. Om te begrijpen waarom, moeten we in gedachten houden wat ASA in wezen is, namelijk absoluut zelfbewustzijn. Hieruit volgt dat ASA op elk reflectieniveau n van N zich bewust is van zijn identiteit met zichzelf op elk willekeurig ander reflectieniveau m van N (we kunnen dit ASA’s inter-level self-identity noemen). Een dergelijk besef van de eigen identiteit op verschillende reflectieniveaus n en m komt dan neer op een afbeelding van n naar m, dwz. een functie f zodanig dat f(n)=m. En aangezien dit, zoals aangegeven, geldt voor alle n en m uit N, volgt hieruit dat ASA alle totale functies f:N→N uitvoert. (Als ik hieronder over functies spreek, bedoel ik steeds totale functies, in tegenstelling tot partiële functies; zie hier voor het onderscheid).

 

Nu is de verzameling van alle f:N→N tegelijk ook de verzameling van alle (positieve) reële getallen R+, dat wil zeggen het positieve continuüm (vgl. Burrill 1967). Dit volgt uit de feiten dat elk f:N→N gezien kan worden als de definitie van een reëel getal en omgekeerd dat elk reëel getal gezien kan worden als de output van een f:N→N die progressief zijn domein N evalueert (dwz. de reeks f(0), f(1), f(2), …). Het punt is dat elk reëel getal kan worden gedefinieerd als een natuurlijk getal (het integer-gedeelte), gevolgd door een unieke en oneindige decimale expansie, bijvoorbeeld π=3,141592654… Nu is er onder alle f:N→N minstens één f die π als output geeft terwijl f progressief N evalueert. Dat wil zeggen: er is minstens één f zodanig dat f(0)=3, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1, enzovoort. Een mogelijke definitie van π is dus in termen van deze f, namelijk: π=f(0),f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)…


Op deze manier kan elk positief reëel getal gedefinieerd worden in termen van een f:N→N. En omgekeerd definieert elke f:N→N een positief reëel getal. Kortom, de verzameling van alle f:N→N is in principe identiek aan de verzameling R+. Dit vereist uiteraard de afspraak dat we elke f(0) zien als het integer-gedeelte van het reële getal gedefinieerd door deze f, maar dat is geen probleem. Er is echter wel één kleine complicatie bij deze definitie van R+ in termen van alle f:N→N: deze aanpak impliceert dat verschillende functies soms hetzelfde reële getal definiëren. We hebben bijvoorbeeld gezien dat π wordt gedefinieerd door de functie f, zodat f(0)=3, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, … Maar er is ook een andere functie (laten we hem g noemen) uit de verzameling van alle f:N→N die π als volgt als output geeft: g(0)=3, g(1)=1415, g(2)=9, enzovoort. π kan dus ook geschreven worden als g(0),g(1)g(2)g(3)… In feite is het gemakkelijk in te zien dat oneindig veel functies uit de verzameling van alle f:N→N dezelfde reële getallen definiëren.


Om dergelijke meervoudige definities van hetzelfde reële getal te vermijden, is de definitie van R+ in termen van functies op N gewoonlijk beperkt tot alle f:N→{0, …, 9}. Op deze manier wordt elk positief reëel getal gedefinieerd door slechts één unieke f. Dit is weliswaar veel zuiniger, maar niet strikt noodzakelijk (want wat maakt het uit, zeker voor een Intellectus Divinus, dat elk reëel getal door oneindig veel functies wordt gedefinieerd?). Waar het om gaat is dat de verzameling van alle f:N→N in principe gelijk is aan de verzameling R+. Oftewel: door zich bewust te zijn van zijn identiteit met zichzelf op alle reflectieniveaus n uit N, is ASA zich bewust van alle f:N→N en daarmee ook van R+.


Patronen in het continuüm en algoritmische informatietheorie

De volgende denkstap is wat speculatiever, maar niet onredelijk. We hebben vastgesteld dat ASA zich bewust is van alle positieve reële getallen. Wat nu? Wat ‘doet’ ASA met de reële getallen? Wat betekent de verzameling van alle positieve reële getallen, dwz. R+ oftewel het continuüm, voor ASA? Omdat ASA in essentie zelfbewustzijn is (en niets anders dan dat), moet het zijn bewustzijn van R+ gebruiken om zijn zelfbewustzijn verder te vergroten. Dit kan volgens mij alleen maar betekenen dat ASA ‘zoekt’ naar die patronen (dwz. geordende reeksen van getallen) in het continuüm waarin het zichzelf ‘herkent’, dwz. patronen die op een of andere manier zijn eigen aard (zelfbewustzijn) weerspiegelen.


Wat betekent dit? Het betekent, simpel gezegd, dat er algoritmen zijn die de aard van ASA weerspiegelen, bijvoorbeeld de algoritmen die inherent zijn aan het functioneren van het menselijk brein (en algemener: alle algoritmen die ten grondslag liggen aan het functioneren van intelligent leven). We weten uit de algoritmische informatietheorie (ontwikkeld rond 1970 door onder meer Andreï Kolmogorov en Gregory Chaitin) dat een getallenreeks een patroon heeft (dwz. dat de reeks geordend is, regelmatig, in tegenstelling tot willekeurig, random) als er een algoritme is dat korter is dan deze reeks en dat deze reeks als output geeft. Dit is in principe een definitie van wat orde ís. Hoe korter het algoritme vergeleken met de getallenreeks die het genereert, hoe geordender die reeks is. Als voor een bepaalde reeks S (van sequence) geen algoritme korter dan S gegeven kan worden, dan is S volledig random. In dat geval is de enige manier om S te beschrijven eenvoudigweg het volledig reproduceren van S. S is in dat geval niet algoritmisch ‘compressible’, dwz. S bevat geen regelmaat die in staat stelt tot het formuleren van een algoritme, korter dan S zelf, voor het genereren van S.


De decimale expansie van het getal π is een goed voorbeeld van een getallenreeks die sterk geordend is in de zin van de algoritmische informatietheorie. Dit is misschien verrassend, aangezien π vaak wordt beschouwd als een typisch willekeurig getal, waarvan de decimale expansie geen duidelijke volgorde laat zien. Het is waar dat π een normaal getal is, dwz. een irrationaal getal waarvan de decimale expansie alle mogelijke getallenreeksen met gelijke frequentie bevat, ongeacht het gekozen grondtal, wat een soort statistische willekeur is. Niettemin impliceert de normaliteit van een getal niet per se de algoritmische willekeur ervan, zoals blijkt uit de berekenbaarheid van π. Want, zoals bekend, zijn er een aantal relatief korte algoritmen die de decimale expansie van π berekenen tot aan het nde cijfer voor een willekeurige n. Vanuit het perspectief van de algoritmische informatietheorie is π dus in feite zeer geordend, omdat een willekeurig lang (maar duidelijk nog steeds eindig) deel van de decimale expansie ervan kan worden gegenereerd door een algoritme dat veel, veel korter is dan deze reeks. En bij nader inzien is dit eigenlijk ook niet zo verrassend. Want zoals we allemaal op de middelbare school leren, π is slechts de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter. Als je voor altijd zou leven en deze deling eindeloos zou voortzetten, zou je uiteindelijk elk cijfer van π berekenen. Vandaar de berekenbaarheid (computability) van π en daarmee de geordendheid ervan in de zin van algoritmische compressibility.


Algoritmische compressibility biedt een objectieve en universele maatstaf voor orde. Dit blijkt uit twee feiten: (1) dat het thermodynamische concept van entropie ook kan worden begrepen in termen van algoritmische compressibility (zie Baez & Stay 2013) en (2) dat de algoritmische compressibility van elke reeks min of meer invariant is tussen verschillende formele talen. Om het intuïtieve concept van een algoritme nauwkeurig te maken, moeten we het immers definiëren in termen van een formele taal, zoals de taal van Turing-machines, lambda-calculus of programmeertalen zoals Pascal, C of LISP. Algoritmen zijn daarom afhankelijk van de notatie en syntaxis van een bepaalde formele taal. Een van de sterke punten van het begrip algoritmische compressibility echter is dat dergelijke verschillen tussen formele talen er min of meer irrelevant voor zijn: de algoritmische compressibility van een bepaalde reeks in een specifieke formele taal is nagenoeg hetzelfde als de algoritmische compressibility ervan in elke andere formele taal. Dit betekent dat algoritmische compressibility inderdaad een universele en objectieve maatstaf voor orde is.


Voor de algoritmische informatietheorie staat elke geordende getallenreeks voor het kortste algoritme dat deze reeks als output geeft. Dit stelt ons in staat om de bovenstaande bewering dat ASA zichzelf herkent in sommige patronen in het continuüm beter te begrijpen: we kunnen dit nu uitleggen als de claim dat de bijbehorende algoritmen de essentie van ASA weerspiegelen. Het ligt voor de hand dat dit de algoritmen zijn die intelligent leven simuleren, bijvoorbeeld de algoritmen die het functioneren van de menselijke hersenen (en van intelligente organismen in het algemeen) beschrijven. 


We weten uit de natuurkunde dat het fysieke universum in grote lijnen berekenbaar is (dwz. algoritmisch van aard is). Bovendien zegt het antropische principe in de kosmologie ons dat het universum verrassend geschikt is voor de evolutie van het leven, en dus voor de evolutie van die fysiek gerealiseerde algoritmen die de essentie van ASA weerspiegelen. Misschien kunnen we het universum dan verklaren als dat enorm complexe patroon in het continuüm (dat, let wel, volgens de huidige theorie alleen bestaat als de structuur van ASA’s zelfbewustzijn) waarin ASA zijn essentie het beste weerspiegeld ziet? Het universum zou dan dus een uiterst gecompliceerd patroon zijn in de recursieve ontvouwing van ASA’s zelfbewustzijn, namelijk dat patroon waarvan het (kortste) algoritme in de hoogste mate intelligent leven simuleert.


Het ‘doolhof van het continuüm’: Een wiskundige oplossing voor het theodiceeprobleem?

Een tweede reden waarom ik deze theorie over het belang van R+ voor ASA aantrekkelijk vind, is dat ze ons in staat stelt te verklaren waarom het universum niet perfect is, ondanks dat het het wiskundige beeld is van ASA (of ‘God’ als je dat liever hebt). Met andere woorden: deze theorie stelt ons in staat om een wiskundig antwoord te geven op het aloude theodiceeprobleem.


Zoals Turing aantoonde (als onderdeel van zijn bewijs voor de onbeslisbaarheid van het stopprobleem) zijn verreweg de meeste reële getallen onberekenbaar en daarom ‘transcendentaal’. Dit betekent dat hun decimale expansies door geen enkel algoritme gegenereerd kunnen worden. Vanuit het perspectief van de algoritmische informatietheorie zijn hun decimale expansies volkomen random. Door zich bewust te zijn van het continuüm is ASA zich dus bewust van iets dat voor veruit het grootste deel ongeordend is, een soort oer-chaos. De poging van ASA om patronen in het continuüm te vinden (en zichzelf daarin te spiegelen) moet daarom buitengewoon moeilijk zijn, ja zelfs vrijwel onmogelijk, aangezien het geordende deel van het continuüm oneindig klein is vergeleken met het ongeordende deel. Als je op willekeurige wijze een reëel getal zou kunnen uitkiezen (bijvoorbeeld door met een oneindig scherpe naald ergens in de reële getallenlijn te prikken), dan is de kans op een onberekenbaar getal nagenoeg 100% (vgl. Chaitin 2005: 113)! Misschien verklaart dit waarom het universum, ondanks dat het een wiskundig beeld is van ASA, niet perfect is? Het moet immers vrijwel onmogelijk zijn voor ASA om orde in de oerchaos van het continuüm te vinden.


Omdat, zoals we hebben gezien, R+ en de verzameling van alle f:N→N in principe dezelfde verzameling zijn, betekent het feit dat de meeste reële getallen niet berekenbaar zijn ook dat de meeste f:N→N niet berekenbaar zijn. Om te begrijpen waarom de meeste reële getallen niet te berekenen zijn (dwz. uncomputable), moeten we bedenken dat het begrip algoritme altijd gerelateerd is aan een of andere formele taal. Deze taal moet een eindige set basissymbolen hebben (dwz. een vocabulaire) en een eindige set syntactische regels voor de combinatie van deze symbolen tot grotere uitdrukkingen. Dit betekent dat de taal slechts een aftelbaar oneindig aantal uitdrukkingen kan genereren, omdat we ze in volgorde van lengte kunnen opsommen, dwz. dat we een bijectie f:N→E kunnen hebben waarbij E de verzameling is van alle uitdrukkingen (expressions) die in de taal kunnen worden gegenereerd. Omdat de verzameling van alle algoritmen een deelverzameling is van deze verzameling van alle mogelijke uitdrukkingen in deze taal, moet ook de verzameling van alle mogelijke algoritmen dus aftelbaar oneindig zijn. Kortom, als we aannemen dat alle positieve reële getallen berekenbaar zijn, dan moet ook R+ aftelbaar oneindig zijn. Maar we weten dat dat niet het geval is, gegeven Cantors bewijs voor de overaftelbaarheid van de reële getallen: alleen al in het eenheidsinterval [0,1] zijn er overaftelbaar veel getallen (in feite zijn er, zoals Cantor heeft laten zien, evenveel reële getallen in [0,1] als in het gehele continuüm!). Er wordt daarom gezegd dat de verzameling reële getallen ‘maximaal groter’ is dan de telbare verzameling van alle mogelijke algoritmen. Kortom, er zijn simpelweg niet genoeg algoritmen om alle reële getallen te berekenen; verreweg de meeste reële getallen zijn onberekenbaar en hebben daarom volledig willekeurige decimale expansies.


Zou dit misschien kunnen verklaren waarom het universum imperfect is, ondanks dat het (volgens Absoluut Idealisme 2.0) het wiskundige zelfbeeld is van ‘God’, het zelfveroorzakende Absolute Zelfbewustzijn? Nadat ASA het continuüm heeft gegenereerd door de recursiviteit van zijn zelfbewustzijn en zijn inter-level self-identity (die, zoals we hebben gezien, alle f:N→N en dus alle reële getallen geeft), zoekt ASA naar die patronen in het continuüm waarin het zijn eigen essentie (zelfbewustzijn) kan weerspiegelen. Maar dan komt ASA als het ware van een koude kermis thuis: het ontdekt dat orde slechts een oneindig klein deel van het continuüm uitmaakt, aangezien bijna alle reële getallen onberekenbaar zijn. Het streven van ASA om zijn eigen afbeelding in het continuüm te vinden lijkt daarom een beetje op het zoeken naar een speld in een hooiberg… alleen dan veel moeilijker! 


Zoals gezegd nadert de waarschijnlijkheid van het willekeurig selecteren van een berekenbaar getal in het continuüm de waarde nul. Je zou kunnen zeggen dat ASA, die in R+ zijn eigen wiskundige spiegelbeeld probeert te zien, zichzelf in plaats daarvan verliest in het ‘labyrint van het continuüm’ (zoals Leibniz het complex van onopgeloste problemen en paradoxen rond de reële getallen noemde). En toch bestaan wij, toch is er dit geordende universum waarin we ons bevinden. Ons heelal is zeker niet perfect, dwz. het is niet het ware beeld van het Absolute, maar toch bestaat het en is het berekenbaar. Ondanks de ‘bijna-onmogelijkheid’ van deze taak moet het Absolute er dus toch in geslaagd zijn enige orde te vinden in de oerchaos van het continuüm. Deze kwestie lijkt een beetje op die oude vraag: wat gebeurt er als een onstuitbare kracht een onbeweeglijk obstakel tegenkomt? Welnu, wat er dan gebeurt is de schepping van dit weerbarstige wonder dat we het universum noemen…


Geraadpleegde literatuur

-Baez, J.C & Stay, M. (2013), ‘Algorithmic Thermodynamics’, http://math.ucr.edu/home/baez/thermo.pdf

-Becker, O. (1973 [1927]), Mathematische Existenz: Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phänomene. Tübingen: Max Niemeyer Verlag.

-Chaitin, G. (2005), Meta Maths: The Quest for Omega. London: Atlantic Books.

-Burrill, C. (1967), Foundations of Real Numbers. New York: McGraw-Hill.

-Dauben, J.W. (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

-Royce, J. (1959 [1899]), The World and The Individual, First Series: The Four Historical Conceptions of Being. New York: Dover Publications. 

-Russell, B. (1970 [1919]), Introduction to Mathematical Philosophy. London: George Allen and Unwin.